n n können algebraisch aufgelöst werden, während die eine vom Grade n+1, auf welche fich, wie wir sehen, das ganze Problem der Theilung ber Transcendenten reducirt, im Allgemeinen nicht algebraisch lösbar zu sein scheint. V. Transformation der elliptischen. §. 12. Das Grundprincip in der Theorie der Transformation der elliptischen Functionen lautet folgendermaßen: Der Ausdruck y = a+a'x+a"x2+.....+aP) XP b+b'x+b"x2+.....+bPxP kann, was auch p für eine Zahl bedeuten mag, immer so bestimmt werden, daß dadurch erhal ten wird: dy VA'+By+C' y2 + D' y' + E'y* M. √A+Bx + Cx2 + Dx2 + Ex1 Dieses Princip_hat_Jacobi in seinem schon früher genannten Werke: Fundamenta nova etc. p. 3 seq., ausführlich bewiesen. Da wir aber in §. 1 gegenwarti ger Abhandlung gesehen haben, daß das allgemeine elliptische Differential auf ein anderes zurückgeführt werden kann, in welchem nur gerade Potenzen von x vorkom fo kann das Princip der Transformation eine andere Aussprache erhalten, wie sie sich in den Fund. p. 17 seq. vorfindet. Es kann nämlich das Differential 5) Crelle, Journal für die reine und angewandte Mathema: tik. 2. Th. S. 127 fg. dx durch die Substitution y = M.VI-x2 V1 — k2x2 transformirt werden U x(a+a'x'+a"x+.....+a (m-1) x2m-2) 1+ b'x2+b"x' + ..... + b(m)x2m 1) wenn V U 2) wenn V = x(a + a'x2+ a′′x*+ + a(m)x2m) ..... in Seht man in beiden Fällen für y in das vorgege V Nenner außer (1-x) (1-k2x2) nur solche Factora Soll nun die Größe unter dem Wurzelzeichen im gleich sind, so ist zunächst ersichtlich, daß nicht zwei vor des ersten Grades enthalten, von denen je zwei einander den Größen V+U, V—U, V+1Ù‚ Ñ—¿ U ¿i nen gemeinschaftlichen Factor haben können, weil sonst V und U einen gemeinschaftlichen Factor haben würden, was nicht angenommen werden darf, da ein solcher aus y= y= fortgeschafft gedacht werden kann. worin A und B ganze rationale Functionen von x vom Grade (m-1), C und D ebensolche Functionen vom Grade m bedeuten, so müssen wir nachweisen, daß wit die zur Annahme dieser Formen erfoderlichen Bedingun gen zu erfüllen im Stande find. Da nun V nur ge rade, U aber nur ungerade Potenzen von x enthalten, fo wird, wenn man x in die Stelle von x fest, U in -U übergehen, während V unverändert bleibt, wor aus ersichtlich ist, daß der zweiten und vierten Gleichung genügt wird, wenn dieses nur bei der ersten und dritten der Fall ist. Damit aber V+2U, mmal, V+U, Vist U Bei beiden Transformationen ist noch die Größe M können, in dem Ausdrucke 1) für y≈ ist aber ebenso näher zu bestimmen. In beiden Fällen ist bei den anges. groß, mithin ist es möglich, das Differential dy wo A, B, C, D ganze rationale Functionen von x vom Grade m find. Auch hier darf man nur der ersten und dritten Gleichung genügen, dann geschieht es aus densel ben Gründen, als vorhin auch bei der zweiten und vierten. Damit aber V +Ú und V+ 20, jedes m Mal, zwei zwei unter sich gleiche Factoren haben und außerdem V+U noch den Factor (1+x), muß man m+m+1 -2m+1 Bebingungsgleichungen genügen; ebenso viele unbestimmte Coëfficienten hat man aber in dem Ausdrucke in der Substitution 2). Man kann also auch ver U y mittels dieser das Differential in das andere dy 1 1-y2 1-22 y2 transformiren ®). dx M VI-x2V1 — k2x2 §. 13. Um die analytische Bedeutung der hierbei X A.B.C.D dU .U. dV dx Da man nun aber die identischen Gleichungen hat: nommenen Bezeichnungen: M= V. ax dx (V±ÂU) • dx (V+U). —U. dx du sin coam 4) (1. 1-y= (1-x) .... dV 'dx ist, indem n eine beliebige ungerade Zahl, m und m' beliebige ganze, positive oder 6) Von der ersten Substitution oder Transformation sagt man, fie sei von der geraden Ordnung 2m, oder sie gehöre zur geraden andern, ungeraden 2m+1. U' rationale Functionen von y, so bestimmt denken kann, daß, wenn man z = (eine Substitution der p'ten Ordnung) feet, bie Gleichung entstehe: und da man nun weiter U und V, ganze rationale Functionen von x, wieder so bestimmen kann, daß, wenn man y = tion der pten Ordnung) feet, die Gleichung entsteht: Hieraus ist ersichtlich, wie eine Subftitution, die zu einer zusammengefeßten Zahl gehört, entstanden gedacht werden kann aus Substitutionen, die zu Primzahlen gehören, weshalb auch nur von den lehtern hier die Rede sein soll. X. Encykl. d. B. u. K. Erfte Section. XL. 13 negative Zahlen_sind, die jedoch keinen gemeinschaftlichen Factor haben, der zugleich in n enthalten ist; × if sin am u. Da sich aber leicht nachweisen läßt, daß (1. 12 sin am u 2 sin coam a 1- k2 sin' am u. sin2 am a sin am u) (1 — sin am (u + 4 w)) (1 — sin am (u + 8 w)) . . . . (1 sin am (u + 4 (n − 1) w)) [cos am 4 w. cos am 8w.cos am 12 W cos am 2 (n-1) @]2 .... 1-y= Dieser Ausdruck bleibt offenbar unverändert, wenn man u+4 po für u sest, wo p irgend eine ganze Zahl ist; andererseits wird er 1 y 1, mithin yo, wenn man uo sest; es wird also überhaupt yo für folgende Werthe von u = o, 4 w, 8w, welchen die Werthe von x = sin am u entsprechen: 4 (n - 1) w, Diese Werthe von x für yo, deren Anzahl n ist, find alle unter einander verschieden. Seht man nun in dem ersten Ausdrucke von 1-y (1-k'x' sin' am 2 (n - so wird U eine ganze rationale Function von x vom nten Grade, die mit y zu gleicher Zeit ver: schwinden, also nothwendig folgende Form annehmen muß: indem M eine Constante bedeutet. Da für x=1, vermöge Formel (26), 1-y=o, also y=1 wird, so geht Zwischen U und V findet nun eine höchst merkwürdige Beziehung statt. Seht man nämlich λ = M. M.k". [sin am 2w. sin am 4w...... sin am (n - 1)@]* = k". [sin coam 2w. sin coam 4w...... sin coam (n-1) w]* fest. Wendet man dieses auf den ersten Ausdruck für 1-y an, so ergibt sich nach gehöriger Reduction: (30) 1 — 2y = (1 — kx) [(1 − kx sin coam4 w) (1—kxsin coam8w).... (1-kxsin còam 2 (n—1) w)]2 ̧ (31) V U Da sich aus dem Werthe für y = unmittelbar ergibt, daß beim Übergange von x in -x auch y in -y übergehen muß, so erhält man aus den Werthen von 1-y und 1-2y ohne weitere Rechnung sogleich 1+y und 1+λy. Auf solche Weise sind demnach zwei rationale ganze Functionen von x, U und V so gefunden, daß man hat: 1 1 (1+kx) CC, = (1 — kx) DD, - X ;)(1 + sin coam 8 ;) (1 + sin coam 2(n X 4w ;) (1 sin coam 8 w C (1 + kx sin coam 4 w) (1 + kx sin coam 8w) in das elliptische Differential X sin coam 2(n (1 — kx sin coam 2 (n − 1)w). dy √ I — y2 VI — ¡2 y2' D (1 — kx sin coam 4w) (1 - kx sin coam 8 w) so geht dieses über in: Der neben dem Differential stehende Factor ist aber, wie wir am Ende des vorigen §. gesehen haben, eine Constante, deren Werth wir erhalten werden, wenn wir den Coëfficienten der niedrigsten oder der höchsten Potenz von x aus dem Zähler durch den entsprechenden Coëfficienten aus dem Nenner dividiren; dieses gibt aber die Con= stante im Ausdrucke für U. (1—k2x2 sin2 am 4 w) (1 — k2x2sin2am 8 w) . . . . . . (1 — k2x2sin2am 2 (n−1)w) dy dx M. VI x2 V1 — k2x2 [sin coam 4 w. sin coam 8w.... sin coam 2 (n - 1) w]2 Nimmt man das Integral der gefundenen Gleichung und feßt, wie gewöhnlich, √1−x2√I–K2X2 und zwar hat dieses neue Integral den wesentlichen Vortheil, daß sein Modul 2, wie aus seinem so eben angegebe= nen Werthe ersichtlich ist, beträchtlich kleiner als k wird. §. 14. Stellen wir die im vorigen §. gewonnenen Resultate zusammen und berücksichtigen wir dabei folgende leicht zu verificirenden Relationen: ...... (1 k2x2 sin3 am 2 (n − 1)w) (1—sin amu)(1 − sin am (u+4)) (1— sinam (u+8w))........ (1—sinam (u+4(n-1'w) wenn man in dieser lehten Formel x mit x vertauscht: (1+x) [(1 + 1+y= Χ ~) (1 + X (33) ...... s) (1 + X ...... (1 sin coam 2(n-1)w/ k'x' sin' am 2(n − 1)w) (34) sin coam 4 w/ aus Formel (31) 1-2y= 2 (1-kx)[(1-kx sin coam 4w) (1-kxsin coam 8w).....(1-kxsin coam 2(n-1))]') (1+kx)[(1+kxsin coam 4w) (1+kx sin coam 8w)..... (1+kxsin coam 2(n−1)w)]2) aus Formel (30) ጌ k". [sin coam 2 w. sin coam 4 w..... sin coam (n − 1) w]* (35) (36) aus Formel (29) M = (-1) [sin coam 2, sin coam 4 w..... sin coam (n-1)w]' wenn man (35) mit (36) multiciplirt, aus dem Producte die Quadratwurzel zieht und dann x=1 segt, wobei, wie wir gesehen haben, auch y-1 wird: |